最佳槓桿比率
（1+X）（(1-X） 從這個簡單算式，各位可以發現，當槓桿倍數呈線性成長增加對市場曝險時，波動率耗損則會呈平方逐漸加大，當1倍槓桿變成2倍槓桿，對市場的曝險變成2倍，波動率耗損則變成4倍，如果開到3倍槓桿，波動率耗損則會變成9倍。

相信聰明的各位肯定發現了，槓桿倍數和波動率耗損，這兩者之間是一種取捨的關係，其中勢必會存在一個「最佳槓桿比率」。

傳統觀點認為1倍槓桿是投資人較佳的選擇，但在不同的市場條件下（報酬和波動），最佳的槓桿倍數可能是0.5倍、1.2 倍或是2倍等...，不太可能剛好是1倍。就像文章一開始說的那樣，在過去10年中，如果投資人對那些熱門的2倍或3倍槓桿ETF使用「買入並持有」的策略，績效很明顯會優於1倍的「買入並持有」策略。

圖6：不同槓桿比率的比較

圖片來源：清流君

根據這篇專門研究槓桿ETF的論文＜Alpha Generation and Risk Smoothing Using Managed Volatility＞，回測期間長達百年以上，作者發現在大多數時間，因為市場行情和走勢的不同，最佳槓桿比例大多在2倍左右。儘管在某些時間段（像是過去 10 年），最佳比例高達3倍，但要小心的是這並非市場常態。

論文也指出：「1倍槓桿並沒有什麼神奇之處。沒有任何數學上的理由可以說明，報酬會在1倍槓桿之下突然趨於平穩。」

圖7：美股1885年～2009年投資報酬率

圖片來源：清流君

從上圖我們可以發現，隨著槓桿增加到2倍以上不斷上升，此時波動率耗損會呈平方持續擴大，投資報酬率最終會被拖垮。

圖8：最大槓桿k的近似公式

圖片來源：清流君

再來經過一些嚴謹的數學分析，作者證明出了最大槓桿 k的近似公式：k = μ / σ 2 市場或指數的平均每日報酬，除以市場或指數的波動率平方，這公式也符合我們文章前面說明過的所有觀點。

但是因為未來的市場報酬和波動性都是不確定的，沒有人能知道將來的最佳槓桿比率會是多少 。如果遇到像是過去表現相當悽慘的日本股市那樣，最佳槓桿比率則會是0.5倍（如下圖所示）。

圖9：日經最佳槓桿率

圖片來源：清流君

不過作者表示：「只要市場有足夠的報酬來克服波動率耗損，槓桿ETF就可以長期持有」。對於最近的大多數市場來說，最佳槓桿比率大約是2倍。在某些市場和期間下會特別獎勵3倍槓桿。但幾乎沒有任何的市場會獎勵4倍槓桿。如果遵循歷史經驗，2倍槓桿可能會是1個比較合適的選擇。

透過1倍的原型ETF再搭配2倍或3倍的槓桿ETF，或是加入現金配置，我們都可以將槓桿調整到任何我們想要的比率，當然你想要超過3倍也行，可以再通過其他方式，像是借錢或是使用期貨、期權來達成。

我相信絕大多數的投資人都是以 < 1 倍的槓桿來進行投資，因為並非全部資產都投資到市場。如果單從論文的實證結果來看，這樣的投資報酬並非最佳，因為槓桿比率過低，但在真實的投資世界中，相比1倍的原型ETF 投資槓桿ETF真的會比較好嗎？